椭圆选择题高考真题

‌高考数学中的椭圆选择题真题‌通常涉及椭圆的定义、性质、方程以及与焦点、离心率等相关的问题。以下是一些典型的高考数学椭圆选择题真题及其解析：

1. ‌椭圆方程的确定‌：

   • ‌题目‌：已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且长轴长为 $10$，求椭圆的方程。
   • ‌答案‌：$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
   • ‌解析‌：由离心率的定义 $e = \frac{c}{a}$，得 $c = ea = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。又因为 $a = 5$，所以 $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - \frac{75}{4} = \frac{25}{4}$。因此，椭圆的方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$‌。

2. ‌焦点和离心率的关系‌：

   • ‌题目‌：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），右焦点为 $F(c, 0)$，若 $|PF_1| = 4$， $|PF_2| = 6$，求 $a$ 的值。
   • ‌答案‌：$a = 5$
   • ‌解析‌：由椭圆的定义，$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，代入已知条件得 $2a = 10$，解得 $a = 5$‌。

3. ‌椭圆的离心率‌：

   • ‌题目‌：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），离心率为 $\frac{1}{2}$，求 $a^2$ 和 $b^2$ 的关系。
   • ‌答案‌：$a^2 = 4b^2$
   • ‌解析‌：由离心率的定义 $e = \frac{c}{a}$，得 $c = \frac{1}{2}a$。又因为 $a^2 = b^2 + c^2$，代入 $c$ 的表达式得 $a^2 = b^2 + \frac{1}{4}a^2$，整理得 $a^2 = 4b^2$‌。

这些题目不仅考察了学生对椭圆基本概念的理解，还涉及了椭圆方程的推导、焦点和离心率的应用等高级知识点。通过这些题目，可以全面评估学生对椭圆知识的掌握程度和应用能力。