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衬自心酸
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双曲线全国二卷高考真题
1分钟前发布 -【双曲线全国二卷高考真题】https://www.gaokaocn.cn 02月05日讯:

2024年新高考全国二卷数学真题中的双曲线相关题目如下‌:

题目编号为19,具体内容如下:

已知双曲线C: x^2-y^2=m(m>0),点P(5,4)在C上,k为常数,0<k<1,按照如下方式依次构造点Pn(n=2, 3, …):过点P_(n-1)作斜率为k的直线与C的左支交于点Q_(n-1),令Pn为Q_(n-1)关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn, yn)。

(1) 若k=1/2,求x2, y2。
(2) 证明:数列{xn-yn}是公比为(1+k)/(1-k)的等比数列。
(3) 设Sn为△PnP_(n+1)P_(n+2)的面积,证明:对任意正整数n,Sn=S_(n+1)。

解题关键和步骤‌:

  1. 求m值‌:将点P(5,4)代入双曲线C的解析式x^2-y^2=m中,得到m=9。
  2. 求解x2和y2‌:设a1=-x2,b1=y2,利用直线斜率的公式和双曲线方程,可以列出方程组并求解。
  3. 证明数列{xn-yn}是等比数列‌:通过分析Qn和Pn的坐标关系,利用平方差公式因式分解,证明数列{xn-yn}是公比为(1+k)/(1-k)的等比数列。
  4. 证明Sn=S_(n+1)‌:通过分析△PnP_(n+1)P_(n+2)的面积关系,利用等比数列的性质进行证明。
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