高考平面向量四心真题

‌高考平面向量四心真题‌主要包括与三角形重心、内心、外心和垂心相关的题目。这些题目通常通过向量运算来考查学生对三角形四心性质的理解和应用。

1. ‌重心定理‌：

   • ‌题目‌：已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0$，则G点是三角形ABC的()。
     • A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心
     • ‌答案‌：D. 重心
   • ‌解析‌：根据重心定理，重心G满足$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0$，因此G是三角形ABC的重心‌。

2. ‌内心定理‌：

   • ‌题目‌：已知O是三角形ABC的内心，满足$\vec{OA} \cdot \vec{AC} + \vec{OB} \cdot \vec{BC} + \vec{OC} \cdot \vec{CA} = 0$，则O是三角形ABC的()。
     • ‌答案‌：内心
   • ‌解析‌：根据内心定理，三角形的内心在向量$\vec{AC}$、$\vec{BC}$和$\vec{CA}$所在的直线上，且满足上述条件，因此O是三角形ABC的内心‌。

3. ‌外心定理‌：

   • ‌题目‌：若点O到三角形ABC三个顶点的距离相等，即$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}|$，则O是三角形ABC的()。
     • ‌答案‌：外心
   • ‌解析‌：根据外心定理，外心到三角形各顶点的距离相等，因此O是三角形ABC的外心‌。

4. ‌垂心定理‌：

   • ‌题目‌：若点H满足$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = \vec{PB} \cdot \vec{PC} = \vec{PC} \cdot \vec{PA}$，则H是三角形ABC的()。
     • ‌答案‌：垂心
   • ‌解析‌：根据垂心定理，垂心H满足上述条件，因此H是三角形ABC的垂心‌。

1. ‌重心‌：重心将中线长度分成2:1，满足$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0$。
2. ‌内心‌：内心在向量$\vec{AC}$、$\vec{BC}$和$\vec{CA}$所在的直线上，满足$\vec{OA} \cdot \vec{AC} + \vec{OB} \cdot \vec{BC} + \vec{OC} \cdot \vec{CA} = 0$。
3. ‌外心‌：外心到三角形各顶点的距离相等，满足$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}|$