柯西高考真题

柯西不等式是高中数学中的一个重要不等式，因其结构简单，功能强大而倍受解题者青睐。以下是柯西不等式在高考中的真题示例：

1. **（2008江苏）**设a,b,c为正实数，求证：。

2. **（2010辽宁理数）**已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

3. **（2012江苏理数）**已知实数x,y满足：求证：。

4. **（2013新课标Ⅱ）**设均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）。

5. **（2012福建）**已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].（1）求m的值；（2）若a,b,c∈R,且eq\f(1,a)+eq\f(1,2b)。

以上题目展示了柯西不等式在高考中的应用，考生可以通过这些真题来理解和掌握柯西不等式的使用方法。

‌柯西不等式在高考中的应用主要体现在不等式证明和求解最值问题‌。例如，2022年高考理科数学全国甲卷和天津卷的最后一道大题都巧妙地运用了柯西不等式‌。

柯西不等式的一般形式为：对于任意正实数 $a_i$ 和 $b_i$（$i=1,2,...,n$），有：
[
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)
]
等号成立当且仅当 $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$。

以下是一个涉及柯西不等式的真题示例：
‌题目‌：设 $a, b, c$ 为正实数，且 $a+b+c=3$，求 $abc$ 的最大值。
‌解析‌：应用柯西不等式，有：
[
(a+b+c)(1^2+1^2+1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2
]
即：
[
3(a+b+c) \geq (a+b+c)^2
]
由于 $a+b+c=3$，所以 $(a+b+c)^2 = 9$，从而得到 $a+b+c \leq 3$。当且仅当 $a=b=c=1$ 时取等号。因此，$abc$ 的最大值为 1‌。