圆台体积高考真题

圆台体积的高考真题通常涉及 立体几何 中的 圆台体积计算 。圆台体积的计算公式为：

[ V = \frac{1}{3} \pi h （R^2 + Rr + r^2） ]

其中，\（ R \） 是圆台的下底面半径，\（ r \） 是圆台的上底面半径，\（ h \） 是圆台的高。

以下是一些涉及圆台体积计算的高考真题示例：

1. 2013年高考广东卷（文） ：

• 题目给出了一个三棱锥的三视图，要求计算该三棱锥的体积。通过做出圆台的轴截面，利用梯形中位线性质和圆台体积公式，可以求得圆台体积。

• 答案：3

• 解析：本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图，由题意知，积水的上底面半径为10，下底面半径为5，高为3，所以盆中积水的体积为 \（\frac{1}{3} \pi \times 10^2 \times 3 = 100\pi\）。喷口的面积为 \（\pi \times 5^2 = 25\pi\），所以平地降雨量是3寸。

2. 2022年高考浙江卷 ：

• 题目给出了一个几何体的三视图，要求计算该几何体的体积。该几何体由半球体、圆柱和圆台组成。分别计算这三部分的体积，然后加在一起。

• 答案：22/3π

• 解析：半球体体积为 \（\frac{2}{3} \pi R^3\），圆柱体积为 \（\pi R^2 h\），圆台体积为 \（\frac{1}{3} \pi h （R^2 + Rr + r^2）\）。已知球体的半径 \（R = 1\），圆柱的高 \（h = 2\），圆台的上底面半径 \（r = 1\），下底面半径 \（R = 2\），高为2。代入公式计算得出整体体积为 \（\frac{2}{3} \pi + 2\pi + \frac{14}{3} \pi = \frac{22}{3} \pi\）。

3. 2021年广东佛山高三月考 ：

• 题目给出了圆台的下底面半径、上底面半径和母线长，要求计算圆台的体积。

• 答案：28π

• 解析：通过圆台的体积公式 \（V = \frac{1}{3} \pi h （R^2 + Rr + r^2）\），代入已知条件 \（R = 4\），\（r = 1\），母线长 \（l = 5\），可以求得圆台的高 \（h = \sqrt{l^2 - （R - r）^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\）。然后代入公式计算得出体积为 \（V = \frac{1}{3} \pi \times 4 \times （4^2 + 4 \times 1 + 1^2） = 28\pi\）。

这些真题涵盖了圆台体积计算的各个方面，包括公式应用、三视图还原几何体等。通过解答这些题目，可以加深对圆台体积计算公式的理解和应用能力。

以下是关于圆台体积的高考真题示例：

示例题目：圆台上、下底面积分别为π,4π侧面积为6π，这个圆台的体积是【】。

答案：要计算这个圆台的体积，我们首先需要确定它的上底半径 $ r $、下底半径 $ R $ 和高 $ h $。

1. 上底半径 $ r $：由于上底面积为 $ \pi $，我们可以得出 $ r = 1 $（因为 $ \pi r^2 = \pi $）。
2. 下底半径 $ R $：同样地，下底面积为 $ 4\pi $，所以 $ R = 2 $（因为 $ \pi R^2 = 4\pi $）。
3. 侧面积：侧面积为 $ 6\pi $，并且圆台的侧面积公式为 $ \pi l (R + r) $，其中 $ l $ 是母线长。因此，我们有 $ \pi l (2 + 1) = 6\pi $，解得 $ l = 2 $。
4. 高 $ h $：我们知道母线长 $ l $、上底半径 $ r $ 和下底半径 $ R $ 形成了一个直角三角形，所以可以通过勾股定理来求高 $ h $。即 $ l^2 = h^2 + (R - r)^2 $，代入已知数值，得到 $ 2^2 = h^2 + (2 - 1)^2 $，解得 $ h = \sqrt{3} $。

现在我们可以使用圆台体积公式来计算体积：

[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) ]

代入已知数值：

[ V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} (4 + 2 + 1) = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} \cdot 7 = \frac{7\sqrt{3}}{3} \pi ]

因此，这个圆台的体积是 $ \frac{7\sqrt{3}}{3} \pi $。

‌圆台体积在高考真题中的应用‌主要体现在通过几何体的三视图来计算其体积。例如，2022年高考浙江卷的选择题5就涉及到一个由半球体、圆柱和圆台组成的几何体，要求计算其总体积。具体步骤如下：

1. ‌分解几何体‌：将几何体分解为三个部分：半球体、圆柱和圆台。
2. ‌计算各部分体积‌：
   • ‌半球体‌：体积公式为 $V = \frac{2}{3}\pi R^3$，其中 $R = 1$，所以半球体体积为 $\frac{2}{3}\pi$。
   • ‌圆柱‌：体积公式为 $V = \pi R^2 h$，其中 $R = 1$，$h = 2$，所以圆柱体积为 $2\pi$。
   • ‌圆台‌：体积公式为 $V = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2)$，其中 $R_1 = 1$，$R_2 = 2$，$h = 2$，所以圆台体积为 $\frac{14}{3}\pi$。
3. ‌总体积‌：将这三部分体积相加，得到总体积为 $\frac{2}{3}\pi + 2\pi + \frac{14}{3}\pi = \frac{22}{3}\pi$。

通过这种分解和计算的方法，可以准确地求解出复杂几何体的体积。