中国高考压轴真题

‌中国高考压轴真题‌通常指的是高考数学试卷中的最后一道大题，这道题目通常涉及复杂的数学概念和计算，旨在考察学生的综合解题能力和数学素养。

2023年全国高考数学甲卷的压轴题是一道函数题，具体如下：

已知函数 $f(x) = ax - \frac{\sin x}{(\cos x)^3}$，其中 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$。

1. 当 $a = 8$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性。
2. 若 $f(x) < \sin 2x$，求 $a$ 的取值范围。

‌解析过程‌：

1. ‌单调性讨论‌：

   • 求导：$f'(x) = 8 - \frac{3 - 2(\cos x)^2}{(\cos x)^4} = \frac{2(\cos x)^2 - 1}{(\cos x)^4}$。
   • 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \frac{\pi}{4}$。
   • 当 $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；当 $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。

2. ‌参数范围求解‌：

   • 构造函数 $g(x) = f(x) - \sin 2x = ax - \sin 2x - \frac{\sin x}{(\cos x)^3}$。
   • 求导：$g'(x) = a + 2 - 4(\cos x)^2 - \frac{3 - 2(\cos x)^2}{(\cos x)^4}$。
   • 换元：令 $t = (\cos x)^2$，则 $g'(x) = \varphi(t) = a + 2 - 4t + \frac{2}{t} - \frac{3}{t^2}$。
   • 求导 $\varphi'(t) = -2(t-1)(2t^2 + 2t + 3)/t^3 > 0$，说明 $\varphi(t)$ 在 (0,1) 上单调递增。
   • 因此，当 $a - 3 \leq 0$ 时，$g'(x) < 0$，函数 $g(x)$ 单调递减；当 $a - 3 > 0$ 时，需进一步讨论。