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湖北数列高考真题
1分钟前发布 -【湖北数列高考真题】https://www.gaokaocn.cn 01月30日讯:
湖北数列高考真题

关于“湖北数列高考真题”,我们可以参考2015年湖北高考数学真题中的一道经典数列题。这道题目不仅考察了等差数列和等比数列的基本概念,还涉及到了数列的通项公式及前n项和的求解方法。

题目概述

题目分为两小问:

  1. 求通项公式:已知 $ a_n $ 为等差数列,$ b_n $ 为等比数列,且 $ b_1 = 2 $,需要求出这两个数列的通项公式。
  2. 求前n项和:在已知通项公式的情况下,求出数列 $ c_n = \frac{a_n}{b_n} $ 的前n项和。
解题步骤
第一小问:求通项公式
  1. 已知条件

    • $ b_1 = 2 $
    • $ b_n $ 为等比数列,设公比为 $ q $
    • $ a_n $ 为等差数列,设首项为 $ a $,公差为 $ d $
  2. 求解过程

    • 由 $ b_1 = 2 $ 知,$ b_1 q = 2 $,即 $ bq = 2 $
    • 由于 $ b = a $ 和 $ q = d $,所以 $ ad = 2 $
    • 又因为 $ S_{10} = 10a + \frac{10 \times 9}{2} d = 100 $,即 $ 10a + 45d = 100 $
  3. 联立方程求解

    • 联立 $ ad = 2 $ 和 $ 10a + 45d = 100 $,解得:
      • $ b = a = 1 , q = d = 2 $
      • 或者 $ b = a = 9 , q = d = \frac{2}{9} $
第二小问:求前n项和
  1. 已知条件

    • 当 $ d = 1 $ 时,$ a_n = 2n - 1 , b_n = 2^{n-1} $
    • 所以 $ c_n = \frac{a_n}{b_n} = \frac{2n-1}{2^{n-1}} $
  2. 求解方法

    • 使用错位相减法求前n项和 $ T_n $
    • 第一步:直接用各项相加表示出 $ T_n $
    • 第二步:在表达式的两边同时乘以等比数列的公比 $ \frac{1}{2} $,并将表达式的右边向后挪一项,使得等比数列部分的指数相同,方便后面的计算
总结

这道题目通过考察等差数列和等比数列的基本性质,以及错位相减法的应用,全面检验了学生的数列知识掌握情况。这类题目在高考中较为常见,因此学生需要熟练掌握相关解题技巧。

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